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lunes, 12 de diciembre de 2011

Técnicas de conteo

Introducción
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.

Ejemplos:

1. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

2. hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. 



La técnica de la multiplicación:
Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas (m x n)




  • La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos.



Permutación:
Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles.




  • La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:
n P r = n!

               (n – r )!
Donde:
nPr es el número de permutaciones posible.

n es el número total de objetos.

r es el número de objetos utilizados en un mismo momento.

n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6

               (n – r )!                  ( 3 – 3 )!                1            


Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación.


Ejemplos:


1)    ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite la repetición?


Solución:



2)    ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite la repetición?

Solución:




3)    De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité?

Solución: Esta es una combinación porque el orden no importa.



Combinaciones:



Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

Combinaciones: AB, AC, BC

Ejemplos:

1)    a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?

Solución: 

a. n = 14,  r = 5                                            

14C= 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!                                  = 2002 grupos 

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres. 

b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres),           

r = 5 En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan  3 mujeres y 2 hombres                                            

8C3*6C2  = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!) = (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!)                                                 = 8 x7 x 6 x 5 /2! = 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas  

c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres = 6C4*8C1    +     6C5*8C0 =  15 x 8   +   6 x 1 = 120 + 6 = 126  

2)    Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a.¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2  primeras preguntas?, c.¿Cuántas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d.¿Cuántas maneras tiene si debe contestar como máximo una de las 3 primeras preguntas? 

Solución: 

a.  n = 12,    r = 9                   

12C9 = 12! / (12 – 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen

b.      2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que están las dos primeras preguntas 

c.       3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que está una de las tres primeras preguntas 

d.      En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas  3C0*9C9  +  3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar- 

3)    Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?, b. ¿cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de recién casados y no asisten el uno sin el otro, c. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?

Solución:

a. n = 11,    r = 5       

11C5 = 11! / (11 – 5 )!5! = 11! / 6!5! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5! = 462 maneras de invitarlos 

Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar.   

b. Esta señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja. 

2C0*9C5   +    2C2*9C3 = (1 x 126)    +   (1 x 84) = 210 maneras de invitarlos       

En este caso separamos a la pareja de los demás invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena.       

c.La señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos.       

2C0*9C5    +    2C1*9C4 = (1 x 126)    +    (2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitación 

4)    En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma línea no hay más de dos puntos, a. ¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b. ¿Cuántas de las líneas no pasan por los puntos A o B?, c. ¿Cuántos triángulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. ¿Cuántos de los triángulos contienen el punto A?, e. ¿Cuántos de los triángulos tienen el lado AB?. 

Solución:

a.       En la redacción del problema se aclara que en una misma línea no hay más de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podría dar contestación a las preguntas que se hacen. 

Una línea puede ser trazada a partir de cómo mínimo dos puntos por lo tanto,      10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45  líneas que se pueden trazar 

b.      En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrán las líneas.      

2C0*8C2  = 1 x 28 = 28 líneas que no pasan por los puntos A o B 

c.       Un triángulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego; 10C3 = 10! / (10 – 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 triángulos posibles de trazar 

d.      En este caso se separa el punto A de los demás, se selecciona y     posteriormente también se seleccionan dos puntos más. 1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 triángulos que contienen el punto A 

e.       Los puntos A y B forman parte de los triángulos a trazar por lo que; 2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 triángulos que contienen el lado AB



Regla general del conteo



En ocasiones no es sencillo el contar el número de casos favorables o el número de casos posibles. La ciencia que estudia las reglas de conteo se denomina Combinatoria.



·         Nos pueden ser de ayuda los diagramas en forma de árbol.




Bibliografías:




  • Técnicas de conteo, permutaciones y combinaciones




  • Regla general del conteo


  • Ejemplos:
               http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Combinaciones.htm 






YOVANA GONZÁLEZ MENDOZA

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